Characterising and constructing codes using finite geometries.

Korte beschrijving

Codeertheorie en eindige meetkunde zijn nauw aan elkaar verwant. Resultaten in het ene onderzoeksveld impliceren nieuwe bevindingen in het andere, en vice versa. Bovendien kent elk domein haar eigen troeven en loont het om een bestaand probleem vanuit beide disciplines te benaderen. Dit doctoraatswerk schuift nieuwe codeertheoretische resultaten naar voren, die behaald zijn door middel van (eindig) meetkundige technieken. Enerzijds worden de codewoorden van enkele bestaande, geometrische codes bestudeerd en gekarakteriseerd. Dergelijke code wordt gedefinieerd als zijnde de vectorruimte opgespannen door de rijen van de incidentiematrix van hypervlakken en punten van de Desarguesiaanse projectieve ruimte. Om efficiënt met dergelijke codes te (de-)coderen, is het van belang het gewichtsspectrum van de code te kennen. Gebaseerd op bestaand onderzoek worden de codewoorden van klein gewicht gekarakteriseerd. Anderzijds zorgen nieuwe, meetkundige constructies binnen de Desarguesiaanse projectieve ruimte voor het bestaan van nieuwe lineaire codes. Zo worden nieuwe technieken voorgesteld om sterke blokkerende verzamelingen te construeren. Dergelijke puntverzamelingen leiden op hun beurt tot het bestaan van korte, minimale codes. Verder wordt er ook een algemene constructie van een verzadigende verzameling beschreven, die leidt tot het bestaan van korte bedekkingscodes. Het bewijs hiervan baseert zich op een nieuw verband tussen specifieke deelmeetkundes en affiene rechten.