Masterthesisonderwerpen

Onderwerp 1: Veralgemeende fouriertransformaties: discreet versus continu

De klassieke fouriertransformatie (FT) kan men linken aan een realisatie in termen van differentiaaloperatoren van de Lie algebra sl2. Deze herschrijving laat vervolgens toe om vergaande veralgemeningen van de FT te bekomen, door nieuwe differentiaaloperator realisaties van sl2 (of zelfs ingewikkeldere Lie (super)algebra's ) te construeren. De laatste jaren vormt dit een actief domein van onderzoek, waar zowel continue als discrete transformaties ingevoerd werden. In veel gevallen is er bovendien een interessante kwantummechanische interpretatie. 

Doel van deze scriptie is om een aantal dergelijke transformaties in detail te bestuderen, en in het bijzonder een vergelijkende studie te maken van het discrete en continue geval.

Promotoren: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) en Joris Van der Jeugt

Onderwerp 2: Studie van de symplectische diracoperator

Het doel van dit masteronderwerp is het doornemen van een recent boek van Habermann en Habermann over de symplectische diracoperator. Deze differentiaaloperator is, in tegenstelling tot de klassieke orthogonaal invariante diracoperator, invariant onder de symplectische groep. Dit heeft tot gevolg dat er moet gewerkt worden met symplectische cliffordalgebra's die inwerken op de oneindigdimensionale ruimte van symplectische spinoren. Kennis van differentiaalmeetkunde is noodzakelijk, aangezien deze operator in grote algemeenheid geconstrueerd wordt.

Promotor: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062)

Onderwerp 3: Tensorproduct-representaties voor Lie-(super)algebra's

Het doel van de thesis is enerzijds een studie van enkele gekende technieken uit de representatietheorie van Lie algebras en anderzijds een toepassing op open vraagstukken voor Lie-superalgebra's. In eerste instantie wordt de techniek van Littlewood-Richardson en Young tableau's toegepast op tensormachten van de fundamentele representatie van de lineaire en orthogonale Lie algebra. Samen met het nemen van spoor-subrepresentaties biedt dit een nieuw kader om de volledige reducibiliteit van representaties van de orthosymplectische Lie-superalgebra te bestuderen.

Promotor: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062)

Onderwerp 4: Hermitische cliffordanalyse

Hermitische cliffordanalyse is een verfijning van orthogonale cliffordanalyse, waarbij de klassieke diracoperator herschreven wordt als de som van twee complexe differentiaaloperatoren. Dit heeft een veel rijkere functietheorie tot gevolg, die onder meer complexe analyse in meerdere veranderlijken omvat.

Doel van dit onderwerp is om een aantal recente artikels grondig door te nemen. Na een bestudering van het basisframework, zijn er vervolgens een aantal verschillende mogelijkheden: studie van polynomiale nuloplossingen (het zogenaamde h-monogene systeem), fundamentele oplossingen, Cauchy-Kowalevski extensies, etc.

Promotoren: Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) en Hennie De Schepper (S8, bureau 130.064)

Onderwerp 5: Speciale functies in cliffordanalyse

Het is de bedoeling een aantal verzamelingen van orthogonale veeltermen te veralgemenen naar het hogerdimensionale Clifford-kader. We denken hierbij vooral aan veralgemeende hermiteveeltermen. Ook zal aandacht besteed worden aan speciale functies afgeleid uit de functie exp<x,y> die optreedt in de Fourier-Laplace transformatie. Deze ontstaan uit de fischerdecompositie en de ontwikkeling in sferisch monogenen.

Promotor: Frank Sommen (S8, bureau 130.063)

Onderwerp 6: Cliffordanalyse op variëteiten

Gebruik makend van de taal van differentiaalvormen in combinatie met de cliffordalgebra is het mogelijk om een Cauchy-Stokes formule te bewijzen voor de tangentiële diracoperator op een oppervlak in de Euclidische ruimte. Het is de bedoeling deze theorie uit te werken en toe te passen op een aantal voorbeelden zoals: de eenheidssfeer, de fles van Klein, de reële projectieve ruimte, de Veronese inbedding en de grassmannvariëteiten.

Promotor: Frank Sommen (S8, bureau 130.063)

Onderwerp 7: Quaternionisch schaars representatiemodel voor verwerking van kleurenafbeeldingen

Veel problemen zoals beeld- en videoreconstructie, compressie en codering, digitale beeldinkleuring en content analyse halen voordeel uit het zogenaamde schaarse representatiemodel. Aangezien deze technieken zeer sterk en uitgebreid toepasbaar zijn, trekken schaarse representaties van signalen (inclusief beelden en hogerdimensionale data) de aandacht van onderzoekers uit diverse onderzoeksgebieden. Het doel van een schaarse representatie is om om een goede benadering te geven van een signaal, enkel gebruik makend van een dictionary (zie Figuur 1 en 2). Een van de best gekende en algemeen gebruikte aanpakken voor dictionary learning is de zogenaamde K-SVD methode. K-SVD is een uitbreiding van de 'K-means clustering' methode, die toelaat tot efficiënt leren van de dictionary, gebruik makend van de 'sigular value method' (SVD). De vaak voorkomende dictionary learning technieken, inclusief de recente K-SVD methodes, behandelen signalen op eenzelfde manier, onafhankelijk van de dimensie en het soort verschillende kanalen in het geval van data die uit verschillende componenten bestaat (zoals kleur, multispectrale en hyperspectrale afbeeldingen). Alle data in een 2-D venster (in het geval van een grijsgeschaalde afbeelding) of een 3-D venster (in het geval van een beeld met meerdere componenten) zijn eenvoudig samengesteld in een rij, gebruik makend van een vooropgestelde volgorde en op die manier behandeld als een enkele 1-D vector.

Een zeer recente trend in signaalverwerking en machineleren probeert een verbeterd schaars representatiemodel te bouwen van kleurenafbeeldingen door quaternionen te introduceren in de opbouw van de dictionary. Quaternionen zijn vier-dimensionale veralgemeningen van complexe getallen (met drie imaginaire eenheden in plaats van 1). Door hun eigenschap dat ze op een efficiënte manier rotaties in 3-D beschrijven, hebben quaternionen tal van toepassingen in theoretische en toegepaste wiskunde, alsook in verschillende gebieden binnen de ingenieurswetenschappen, zoals computerbeelden en computervisie, alsook in tal van toepassingen in biomedische verwerking, afstandsvoelen, hyperspectrale beeldverwerking en vele andere. De quaternionische representatie met drie imaginaire eenheden is ook perfect geschikt voor de representatie van drie kleurkanalen. Daarom zijn quaternionen al excessief gebruikt in verwerking van kleurbeelden. Een zeer recente methode, de zogenaamde K-QSVD, een veralgemening van het K-SVD algoritme in de quaternionische setting, toonde al opmerkelijke resultaten (zie Figuur 3). Het potentiel van quaternionen voor het verbeteren van schaarse representaties van beelden die uit meerdere componenten bestaan moet nog worden onderzocht, beginnend bij de eerste aanmoedigende resultaten. De motivatie is dat de coëfficiëntenmatrix niet alleen de correlatie tussen kanalen behoudt, maar ook de orthogonaliteitseigenschap. Volgens recente studies, is dit belangrijk voor de complexiteit van de berekeningen en in termen van kleur-betrouwbaarheid in de reconstructie. Echter, vele aspecten van deze aanpak moeten nog worden onderzocht, zowel theoretisch als het praktische ontwerp. In deze masterthesis zal de student worden geleid door de promotoren van de onderzoeksgroep 'Image Processing and Interpretation' en de onderzoeksgroep 'Cliffordanalyse'.

Deze thesis combineert opkomende en zeer populaire technologieën in beelverwerking en computervisie met een goed onderbouwde wiskundige theorie om een gegrond kader te bouwen dat zal gevalideerd worden in een aantal concrete toepassingen die nog meer toepasbaar zijn. Het belangrijkste doel van deze thesis is om een krachtige methode te bouwen om kleurenbeelden te coderen met behulp van quaternionische dictionaries, started bij de literatuur en reeds gekende algoritmen zoals K-SVD en K-QSVD. Eerst is een verkenning nodig van de efficiëntie van K-QSVD dictionaries, in vergelijking met de meer traditionele dictionaries in termen van de benaderingskracht (het doel is om de afbeelding samen te stellen op een zo getrouw mogelijke manier, waarbij zo weinig mogelijke elementen gecombineerd worden op elke lokale positie). Ten tweede dient de ontwikkelde methode toegepast te worden in twee concrete beelverwerkingstoepassingen - verwijdering van ruis uit afbeeldingen en digitale inkleuring (zie Figuur 3). In deze toepassingen zal het gebruik van quaternionische dictionaries praktisch worden geëvalueerd en vergeleken met een aantal huidige state-of-the-art methodes die de student zal kunnen gebruiken.

Dictionary Learning

Fig 1. - Voor gegeven data Y zoekt de dictionary learning methode een dictionary D en een representatie matrix X zodat zijn kolommen X_i schaars genoeg zijn (https://research.csiro.au/data61/).

Image about dictionaries

Fig 2. - Een voorbeeld van de dictionary voor kleurenafbeeldingen aangeleerd door K-SVD (links) en door K-QSVD (rechts).

Figure about image denoising

Fig 3. - Een voorbeeld die het gebruik van K-SVD toont bij inkleuring van afbeeldingen. Links: beschadigde afbeelding (70% ontbrekend); Rechts: een gereconstrueerde afbeelding met K-QSVD.


Begeleiding: Srđan Lazendić (S8, bureau 130.071), Tim Raeymaekers (S8, bureau 130.072)
Promotoren: Aleksandra Pižurica (TELIN-IPI), Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) 

Onderwerp 8: Finsler meetkundige benadering van het Beltrami-kader voor beeldverwerking

Wetenschappers en ingenieurs uit verschillende taken zijn geïnteresseerd in beeldverwerking, gezien hun belang in de medische wereld, geologie en geografie, maar ook in het kunstonderzoek met het oog op restauratie van oude schilderijen. Vaak hebben we te maken met gecompliceerde scenario's, waarbij een geschikte voorstelling en visualisatie van beelden zeer belangrijk is om de inhoud van het beeld juist te kunnen interpreteren en het visuele proces goed te verstaan. Meetkundige methoden worden gebruikt in klassieke, maar tegelijk ook moderne manieren voor beeldverwerking en -analyse. De benadering via partiële
differentiaalvergelijkingen, zoals schaalruimte methoden en gradiëntmethoden zijn een krachtige tool in beeldverwerking. Hoewel differentiaalmeetkunde
zijn toepassing vindt in patroonherkenning, vormreconstructie, boogdetectie, kleurbeeld versterking en segmentatie, zijn nieuwe ontwikkelingen op komst. Dat dit inderdaad het geval is, kunnen we zien in [1], die ons een zeer mooi overzicht geeft van bestaande en veelzijdig toepasbare differentiaalmeetkundige methoden en ons het meetkundige kader van beeldverwerking in combinatie met reeds vermelde PDE-methoden schetst. De gekende Beltrami stroom, die enkele van de belangrijkste meetkundige kaders in beeldverwerking representeert, wordt ook in [1] behandeld en zijn vele mogelijkheden worden besproken. In het algemeen beschouwt het meetkundige kader beelden als variëteiten (veralgemening van een oppervlak met een lokale Euclidische structuur), ingebed in een hoger dimensionale ruimte-achtige variëteit. In Figuur 1 zien we een grijsschalig beeld dat voorgesteld wordt als een oppervlak (een 2D-variëteit). Ook kleur- en multispectraalbeelden en 3D-medische beelden kunnen op deze manier worden voorgesteld. In dit kader kunnen veel problemen in beeldverwerking geformuleerd worden als de berekening van minimaaloppervlakken, i.e. oppervlakken met een gemiddelde kromming van nul.

Een speciaal type variëteit, de Riemann-variëteit is geschikt voor de representatie van digitale beelden door de mogelijkheid afstanden te meten tussen elementen op de variëteit. Een zeer recente trend in meetkundige beeldverwerking bouwt een veralgemeend model van het Beltrami kader op basis van de Finsler-meetkunde. Deze is op zijn beurt een veralgemening is van de Riemann-meetkunde, in de zin dat elementen in de Finsler meetkunde niet enkel afhangen van hun positie op de variëteit, maar ook van de richting waarin de elementen onderling worden benaderd (zie [2]). In deze veralgemening worden de beelden nog steeds behandeld op dezelfde manier zoals reeds vermeld, i.e. als variëteiten ingebed in een hoger dimensionale ruimte, waarbij het doel is om het minimaaloppervlak te vinden. Ruis wordt bijvoorbeeld voorgesteld als punten met hoge kromming. Het doel is hier om het beeldoppervlak 'glad' te maken door het aantal punten met hoge kromming te reduceren. De Beltrami stroom wordt verkregen door het gebied van de beeldvariëteit te minimaliseren, rekening houdend met de intensiteitscomponenten: het oppervlak beweegt volgens de intensiteitscomponenten in de richting van de normaal van het oppervlak, de enige richting die de vorm van het beeld verandert. Op deze manier veranderen we inderdaad de intensiteitscomponenten en verminderen we de ruim. Andere beeldverwerkingsproblemen kunnen ook in dit kader geplaatst worden.

Deze thesis zou reeds ontwikkelde theoretische technieken in beeldverwerking en computervisie (geïntroduceerd in [1,3]) combineren met de stevige wiskundige
theorie van krommen en oppervlakken met de bedoeling experimentele resultaten en praktische validatie te verrichten. Het hoofddoel van de thesis is de praktische  validatie van de theoretische resultaten uit [3]. Omdat de Beltrami stroom al veel opvallende resultaten gaf, is het veralgemeende Beltrami kader een veelbelovende methode, tot dusver enkel vanuit theoretisch standpunt. Zoals vermeld is praktische validatie nog uit te voeren en dit zou de hoofdtaak van deze masterthesis zijn. De resultaten zouden moeten vergeleken met zowel de traditionele als de "state-of-the-art" methoden voor beeldverbetering. Alle bestaande code voor het traditionele Beltrami kader zullen beschikbaar zijn voor de student. De ontwikkelde methode zal toegepast worden in concrete toepassingen in de beeldverwerking, die in onderlinge overeenstemming met de student zullen worden gekozen, afhankelijk van zijn of haar interesses.

 Lena

Fig 1. - Dit beeld "Lena" in grijsschaal (links) kan beschouwd worden als een 2D- oppervlak, S=(x1,x2,I(x1,x2)) ingebed in een 3D-ruimte (rechts); het punt (x1,x2,I(x1,x2)) heeft grijsschaal I(x1,x2).

Referenties: 

[1] R. Kimmel, Numerical Geometry of Images, Springer-Verlag, 2004. 
[2] M. Dahl, A Brief Introduction to Finsler Geometry, Lecture Notes, 2006. (Finsler.pdf
[3] J. Stojanov, Anisotropic frameworks for dynamical systems and image processing, PhD Thesis, University of Novi Sad, 2015.

BegeleidingSrđan Lazendić (S8, bureau 130.071), Astrid Massé (S8, bureau 130.072) 
PromotorenAleksandra Pižurica (TELIN-IPI), Hendrik De Bie (S8, bureau 130.062) 

Onderwerp 9: Wavelets en shearlets met behulp van cliffordalgebra-technieken 

Wavelets, en meer recent ook shearlets, vormen een zeer belangrijk hulpmiddel in moderne beeldverwerking, vooral op gebied van compressie en reconstructie. In recent wiskundig werk werd de wavelettransformatie uitgebreid naar hogere dimensies, door gebruik te maken van cliffordanalyse.

Doel van dit onderwerp is om enerzijds een theoretische studie van deze wavelets te maken, maar anderzijds ook de praktische toepasbaarheid te bekijken. Daartoe zal een vergelijking gemaakt worden tussen een bestaand algoritme dat gebruikt maakt van zogenaamde shearlets met een te construeren nieuw algoritme steunend op de Clifford wavelets.

Wavelets and Shearlets

PromotorenHendrik De Bie (S8, bureau 130.062) en Bart Goossens (TELIN)